Задумала я объяснить, откуда пошли цифры. Но для этого нужен подготовительный этап. Поэтому сегодня поговорим о системах исчисления и насколько они бывают разнообразными.
Самая широко используемая система счисления в мире — десятичная или по-другому система с основанием 10. Основание — это количество цифр, которые используются для записи всех чисел, т.е. мы пользуемся цифрами от 0 до 9 (всего 10), а дальше составляем числа, комбинируя цифры.
И вот в чем главная задумка этой статьи: тот факт, что десятичная система самая распространенная, не значит, что десятками считает весь мир. И тем более не значит, что те, кто сейчас использует основу 10, использовал её всегда. А ещё, не факт, что десятичная система самая удобная.
Например, в США есть общество любителей считать дюжинами — «Американское двенадцатеричное общество». Ребята считают, цитирую: «Counting in tens is a biological accident», т.е. общепринятый счет десятками — не больше чем ошибка природы, и наша жизнь была бы проще, будь у нас по шесть пальцев на руках. Считать с основой 12 действительно проще, так как оно делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12, в то время как 10 — лишь на 1, 2, 5 и само себя. Таким образом сокращается количество бесконечных дробей, деление становится «чище», да и таблица умножения запоминается проще. То есть, по сути, математика была бы легче, не будь мы так нескладно сложены.
Вот как выглядит таблица умножения для основы 12. Обратите внимание, что 10 не значит десять. В таблице 10 — это X (сейчас вместо этого знака используют перевернутую двойку, а вместо 11 — перевернутую тройку). Т.е. если вы видите в таблице число 70, вы должны понимать, что оно значит 84. Почему я говорю о простоте запоминания? Посмотрите, какая красота, например, в умножении на 6: 10, 16, 20, 26, 30, 36. А на 3? На 4?
Исторически сложилось так, что мы пользуемся основой 12 для учета времени. Я понимаю, что представить переход на двенадцатеричную систему счисления настолько же непросто, как и воспринять идею десятичного времени. И тем не менее сейчас в мире почти нет языков, считающих с основой на 12. Я нашла только один диалект языка гвандара, на котором говорят на севере Нигерии. Например, 35 на диалекте нимба будет gume bi ni kwada — это (12× 2)+11.
При этом намек на основу 12 есть в древнеанглийском. Основу на 12 использовали для торговых рассчетов. Расскажу от трех моментах:
- в древнескандинавском слово сотня hundrað могло означать не только 100, а ещё и 120 — подобное число называли большой или длинной сотней (цитирую вот по этому исследованию). В немецком, например, было слово großhundert. Следы большой сотни можно найти (с некоторыми отклонениями в использовании слова) в старо- и среднеанглийском, немецком, фризском, готском и скандинавских языках (ср. Mengden 2013: 4). То есть, более простым языком, древние скандинавы различали две сотни: из десяток и из «двенадцаток». Англосаксы иногда называли число 120 hundtwelftiġ, которая потом стала twelfty.
- И если сейчас длинную сотню не используют, то слова дюжина dozen и gross (дюжина дюжин = 144) от французского grosse douzaine вполне сохранились. Опять же, вспоминайте, что раньше в Британии были шиллинги (1 шиллинг = 12 пенсов), французские су sou (= 1/20 ливра (фунта) или 12 денье). Кстати, Франция перешла на десятичную денежную систему только в 1795 году. Но это ещё ладно, т.к. британский шиллинг оставался в ходу до 1971 года.
- Числа 11 endleofan — нынешнее eleven и 12 twelf — twelve формируются не так, как остальные во втором десятке. Они восходят к прагерманским *ain+lif and *twa+lif соответственно, что в буквальном переводе значит «один остался» и «два остались» (lif — to leave) после десяти. Такую систему можно объяснить тем, что прагерманцы считали до 10, а 12 был максимумом исчисления. Всё, что шло дальше было «много». А обозначения для 13 и выше с суффиксом teen, что значит «на Х больше десяти», появились много позже, уже в староанглийский период.
Понятно, что наш удел предпочесть десятичную систему был предопределен несчастьем иметь десять пальцев на руках. Пальцы объясняют не только основу на 10 (две руки), но и 20 (две руки, две ноги) и на 5 (одна рука). Основой 20 считают грузины, т.е. 57 (ორმოცდაჩვიდმეტი — это буквально два по двадцать и семнадцать), а ещё абхазы, адыгейцы, ингуши, чеченцы, аварцы, лезгины и т.д. Двадцатеричная система — характерная черта региона (см. красный цвет):
Двадцатеричная система свойственна языкам кельтской группы: исчезающему бретонскому, шотландскому гаэльскому, традиционной системе счета в валлийском (там ещё 50 буквально значит «полсотни» hanner cant — half hundred).
Из скандинавских языков только датский восходит к двадцатеричной системе счисления. В датском интересно, что в счете десятков выше 50 появляются дроби. Например, halvfems означает 90 — что буквально значит «четыре с половиной раза по 20». Как вы думаете, чему равно halvtreds? Правильно, 2½ раза по 20 = 50.
Основа 20 частично верна и для французского языка, их система — смесь основ 10 и 20. С 20 до 60 счет идёт десятками, а вот дальше всё идёт по стандартной схеме для двадцатеричной системы: 70 soixante-dix — «шестьдесят и десять», 80 quatre-vingts или «4 по 20», 90 quatre-vingt-dix» — «4 по 20 плюс 10». Поэтому иногда говорят, что у французов четыре-двадцать-десять-девять проблем и одна из них, как они считают. Наверное поэтому в Бельгии и Швейцарии существуют названия недостающим десятками и чаще можно услышать nonante-sept (девяносто семь) вместо quatre-vingt-dix-sept (четыре-двадцать десять-семь). Точное происхождение двадцатеричной системы счисления во Франции до сих пор остается тайной и вызывает бурные споры в ученой среде.
Смешнявочка:
— Алло, полиция!
— Слушаю.
— Меня ограбили.
— Сколько было грабителей?
— Семь.
— Как вы сказали?
— Я говорю: «Семь» (слова «говорю» и «десять» созвучны, получается 17)
— 17?!
— Ну нет же, без десяти, семь! («без» звучит как «сто», получается 117)
И так далее. В конце анекдота грабителей уже семнадцать сотен семнадцать.
Двадцатеричная система была у ацтеков и майя. Один из языков группы майя — цоциль вызывает отдельный интерес. Его носители добавляют слово «человек» vinik для чисел свыше двадцати. Двадцать один будет буквально «первая цифра второго человека» jun scha’vinik, а 42 — вторая цифра третьего человека chib y-ox-vinik.
В Западной Африке распространен язык волоф, в котором используют смесь основ на 5 juróom и 10 fukka. Цифры до пяти имеют свои названия, а дальше идут производные от пяти. К примеру, 19 будет fukka ak juróom ñenent (10+5+4).
Но настоящий кладезь разнообразных систем счёта — это папуасские языки, где в качестве базиса используется тело. В таких языках считать — значит называть часть тела или показывать на неё. Проблема таких систем счисления в том, что они ограничены, т.е. закончились части тела — закончился счёт. Всё, что дальше будет просто «много».
Некоторые племена таким образом могут досчитать аж до 74 (в ход идут даже уши и ноздри). В языке калули (см. картинку) счёт начинается с левого мизинца ноги и поднимается по левой стороне вверх, доходит до носа (что обозначает 18) и возвращается по правой стороне — можно сказать, что получается основа 35.
Чтобы снять ограничение и стать полноценной системой, надо придумать цифрам названия. Иначе чем больше количество, тем труднее (или невозможнее) его посчитать. Вот отрывок из дневника путешествий Миклухо-Маклая. Здесь, чтобы перейти через десяток, требуются другие люди.
Но есть случаи и полноценных систем счисления. В языке аламблак, на нём говорят на севере Папуа — Новой Гвинеи, используют основу 20. Собственные названия есть только у цифр 1, 2, 5 и 20, а всё остальное является их производными: 2 будет hosf, то 4 — hosfihosf. А если мы знаем, что 20 называется yima yohtt (yima — 20, yohtt — целиком), то yima hosfihosfi hosf (20 × (2+2)) × 2 = 82.
Ещё один папуасский народ — хули — живет на юге острова и считает с основой на 15. Но ребята не ищут простоты. Например, если мы знаем, что 1 = mbira, 3 = tebira, 15 = nguira, то число 45 нас не удивит: ngui tebo (15×3). Но, если вы ожидаете, что 46 будет ngui tebo mbira, то нетушки: 46 будет ngui tebo, ngui mane-gonaga mbira, что буквально значит 15×3 плюс от четвертой 15ти один.
Абипоны, ныне несуществующее южноамериканское племя, тоже в своем счете отталкивалось от названий пальцев. Цифра 5 называлась«пальцы одной руки» hanambegen, 10 — «пальцы обеих рук» lanamrihegem, 20 было lanamrihegemcat gracherhaka anamichirihegem — пальцы обеих руки вместе с пальцами обеих ног. Но самое прекрасное в этом счете — цифра 4 — geyenknate — пальцы страуса.
На страусах и закончу. А вообще очень рекомендую почитать книгу When Languages Die, просто посмотрите на многообразие исчезающего языкового наследия. В следующий раз поговорим о том, что интересного есть в названиях цифр от 1 до 10. Прочитав вторую часть, вы сможете догадаться, почему все пальцы будут fingers, а большой всё-таки thumb. А в русском раньше пальцы назывались «перстами», а большой палец кисти руки назывался «палесом».
Etymology tales 
One thought on “О цифрах. Часть 1. Системы счисления”